63. Докажите, что при всех допустимых значениях x значение выражения не зависит от x: а) \(\frac{3x+5}{2x-1}+\frac{7x+3}{1-2x}\); б) \(\frac{5x+1}{5x-20}+\frac{x+17}{20-5x}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Ограничение: \(2x-1\ne0\), поэтому \(x\ne\frac12\).

Так как \(1-2x=-(2x-1)\), получаем:

\[\frac{3x+5}{2x-1}+\frac{7x+3}{1-2x}=\frac{3x+5-(7x+3)}{2x-1}=\frac{-4x+2}{2x-1}=\frac{-2(2x-1)}{2x-1}=-2.\]

б) Ограничение: \(5x-20\ne0\), поэтому \(x\ne4\).

Так как \(20-5x=-(5x-20)\), получаем:

\[\frac{5x+1}{5x-20}+\frac{x+17}{20-5x}=\frac{5x+1-(x+17)}{5x-20}=\frac{4x-16}{5x-20}=\frac{4(x-4)}{5(x-4)}=\frac45.\]

Ответ: а) \(-2\); б) \(\frac45\). Значения не зависят от \(x\) при указанных ограничениях.