63. Параллельные плоскости α и β пересекают сторону AB угла BAC соответственно в точках A₁ и A₂, а сторону AC этого угла — соответственно в точках B₁ и B₂. Найдите: а) AA₂ и AB₂, если A₁A₂ = 2A₁A = 12 см, AB₁ = 5 см; б) A₂B₂ и AA₂, если A₁B₁ = 18 см, AA₁ = 24 см, AA₂ = 3/2 A₁A₂.

Так как плоскости α и β параллельны, то отрезки A₁B₁ и A₂B₂ параллельны. Поэтому треугольники AA₁B₁ и AA₂B₂ подобны:

\(\dfrac{AA_2}{AA_1}=\dfrac{AB_2}{AB_1}=\dfrac{A_2B_2}{A_1B_1}\).

а) Из условия \(A_1A_2=2A_1A=12\) см получаем \(A_1A=6\) см. Тогда \(AA_2=AA_1+A_1A_2=6+12=18\) см.

Коэффициент подобия равен \(\dfrac{AA_2}{AA_1}=\dfrac{18}{6}=3\). Поэтому \(AB_2=3\cdot AB_1=3\cdot5=15\) см.

б) Пусть \(A_1A_2=x\). Тогда \(AA_2=AA_1+A_1A_2=24+x\), а по условию \(AA_2=\dfrac32x\). Следовательно:

\(24+x=\dfrac32x\), откуда \(x=48\) см.

Значит, \(AA_2=\dfrac32\cdot48=72\) см. Коэффициент подобия: \(\dfrac{AA_2}{AA_1}=\dfrac{72}{24}=3\). Поэтому \(A_2B_2=3\cdot A_1B_1=3\cdot18=54\) см.

Ответ: а) \(AA_2=18\) см, \(AB_2=15\) см; б) \(A_2B_2=54\) см, \(AA_2=72\) см.