65. Параллельные отрезки A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ заключены между параллельными плоскостями α и β (рис. 32). а) Определите вид четырёхугольников A₁B₁B₂A₂, B₁C₁C₂B₂ и A₁C₁C₂A₂. б) Докажите, что △A₁B₁C₁ = △A₂B₂C₂.

а) Рассмотрим четырёхугольник A₁B₁B₂A₂. Отрезки A₁A₂ и B₁B₂ параллельны по условию. Кроме того, отрезки A₁B₁ и A₂B₂ являются линиями пересечения параллельных плоскостей с одной и той же плоскостью, поэтому они параллельны. Следовательно, A₁B₁B₂A₂ — параллелограмм.

Аналогично доказывается, что B₁C₁C₂B₂ и A₁C₁C₂A₂ — параллелограммы.

б) В параллелограммах противоположные стороны равны, поэтому:

\(A_1B_1=A_2B_2\), \(B_1C_1=B_2C_2\), \(A_1C_1=A_2C_2\).

Следовательно, все три стороны треугольника A₁B₁C₁ соответственно равны сторонам треугольника A₂B₂C₂. Значит, треугольники равны по трём сторонам:

\(\triangle A_1B_1C_1=\triangle A_2B_2C_2\).

Ответ: а) все три четырёхугольника — параллелограммы; б) треугольники равны по трём сторонам.