64. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках A₁, B₁ и C₁, а другую — в точках A₂, B₂ и C₂. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Рассмотрим плоскость, проходящую через две пересекающиеся прямые. Она пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым A₁B₁ и A₂B₂. Поэтому треугольники, образованные лучами из общей точки и этими параллельными сечениями, подобны, откуда

\(\dfrac{A_2B_2}{A_1B_1}=\dfrac{A_2C_2}{A_1C_1}=\dfrac{B_2C_2}{B_1C_1}=k\).

Все соответствующие стороны треугольников пропорциональны одному и тому же коэффициенту \(k\). Следовательно, по третьему признаку подобия треугольников

\(\triangle A_1B_1C_1\sim\triangle A_2B_2C_2\).

Что и требовалось доказать.