635. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC высота AD равна 8 см. Найдите площадь треугольника ABC, если медиана DM треугольника ADC равна 8 см.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, высота AD является также и медианой, то есть D - середина BC. Медиана DM треугольника ADC равна 8 см, а так как медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то AC = 2 * DM = 2 * 8 = 16 см. Площадь треугольника ADC равна \(\frac{1}{2} * AD * DC\). Так как DM это медиана в треугольнике ADC, то она равна половине AC и равна 8см. Тогда AM=MC =8.
Поскольку AD - высота, то треугольник ADC - прямоугольный. Применим теорему Пифагора:

\(AC^2 = AD^2 + DC^2\),

\(16^2 = 8^2 + DC^2\),

\(256 = 64 + DC^2\),

\(DC^2 = 256 - 64\),

\(DC^2 = 192\),

\(DC = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}\).

Так как D - середина BC, то BC = 2 * DC = 2 * \(8\sqrt{3}\) = \(16\sqrt{3}\).

Площадь треугольника ABC равна \(\frac{1}{2} * AD * BC = \frac{1}{2} * 8 * 16\sqrt{3} = 64\sqrt{3}\) кв.см.

Ответ: Площадь треугольника ABC равна \(64\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.