637. В треугольнике ABC проведена высота BH. Докажите, что если: а) угол A острый, то BC² = AB² + AC² - 2AC * AH; б) угол A тупой, то BC² = AB² + AC² + 2AC * AH.

а) Рассмотрим треугольник ABC, где угол A острый. Высота BH образует два прямоугольных треугольника: ABH и BHC. Применим теорему Пифагора к треугольнику BHC: \(BC^2 = BH^2 + HC^2\). Так как H лежит на AC, \(HC = AC - AH\). Значит, \(BC^2 = BH^2 + (AC - AH)^2 = BH^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH + AH^2\). Теперь из треугольника ABH выразим \(BH^2\), получится \(BH^2 = AB^2 - AH^2\). Подставим в предыдущую формулу: \(BC^2 = AB^2 - AH^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH + AH^2\). После сокращения получим: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH\).

б) Рассмотрим треугольник ABC, где угол A тупой. Высота BH проводится из вершины B к продолжению стороны AC. Применим теорему Пифагора к треугольнику BHC: \(BC^2 = BH^2 + HC^2\). В этом случае \(HC = AH + AC\). Значит, \(BC^2 = BH^2 + (AH + AC)^2 = BH^2 + AH^2 + 2AH \cdot AC + AC^2\). Теперь из треугольника ABH выразим \(BH^2\), получится \(BH^2 = AB^2 - AH^2\). Подставим в предыдущую формулу: \(BC^2 = AB^2 - AH^2 + AH^2 + 2AH \cdot AC + AC^2\). После сокращения получим: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH\).

Ответ: Утверждения доказаны, для острого угла BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC * AH, для тупого угла BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC * AH.