637. 1) \(2\sin75^\circ\cdot\cos75^\circ\); 2) \(\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ\); 3) \(\frac{6 g75^\circ}{1- g^2 75^\circ}\); 4) \(\frac{ g^2 22^\circ30'-1}{ g22^\circ30'}\).

1. \(2\sin75^\circ\cos75^\circ=\sin150^\circ=\frac12\).
2. \(\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ=\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}\).
3. Так как \(\frac{2 g x}{1- g^2x}= g2x\), то \(\frac{6 g75^\circ}{1- g^2 75^\circ}=3 g150^\circ=-\sqrt3\).
4. Преобразуем выражение: \(\frac{ g^2x-1}{ g x}= g x-\ctg x=-2\ctg2x\). При \(x=22^\circ30'\): \(-2\ctg45^\circ=-2\).

Ответ: 1) \(\frac12\); 2) \(-\frac{\sqrt3}{2}\); 3) \(-\sqrt3\); 4) \(-2\).