638. Вычислить $\sin2\alpha$, если: 1) $\sin\alpha=\frac35$, $\frac\pi2<\alpha<\pi$; 2) $\cos\alpha=-\frac45$, $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$; 3) $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac12$; 4) $\sin\alpha-\cos\alpha=-\frac13$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 638. Вычислить $\sin2\alpha$, если: 1) $\sin\alpha=\frac35$, $\frac\pi2<\alpha<\pi$; 2) $\cos\alpha=-\frac45$,…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $\alpha$ находится во II четверти, $\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac9{25}}=-\frac45$. Тогда $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right)=-\frac{24}{25}$.
В III четверти синус отрицателен: $\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac35$. Поэтому $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac45\right)=\frac{24}{25}$.
Возведём равенство в квадрат: $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\frac14$. Следовательно, $1+\sin2\alpha=\frac14$, откуда $\sin2\alpha=-\frac34$.
Возведём равенство в квадрат: $(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\frac19$. Следовательно, $1-\sin2\alpha=\frac19$, откуда $\sin2\alpha=\frac89$.

Ответ: 1) $-\frac{24}{25}$; 2) $\frac{24}{25}$; 3) $-\frac34$; 4) $\frac89$.

638. Вычислить \(\sin2\alpha\), если: 1) \(\sin\alpha=\frac35\), \(\frac\pi2<\alpha<\pi\); 2) \(\cos\alpha=-\frac45\), \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\); 3) \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac12\); 4) \(\sin\alpha-\cos\alpha=-\frac13\).