64. Можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведения многочленов первой степени: а) −3y² + 3y + 11; б) 4b² − 9b + 7; в) x² − 7x + 11; г) 3y² − 12y + 12?

Используем дискриминант квадратного трёхчлена. Если \(D\geqslant0\), то трёхчлен можно разложить на множители первой степени с действительными коэффициентами.

а) \(D=3^2-4\cdot(-3)\cdot11=141>0\), поэтому представить можно:

\(-3y^2+3y+11=-3\left(y-\frac{3+\sqrt{141}}{6}\right)\left(y-\frac{3-\\sqrt{141}}{6}\right)\).

б) \(D=(-9)^2-4\cdot4\cdot7=-31<0\). Представить в виде произведения многочленов первой степени с действительными коэффициентами нельзя.

в) \(D=(-7)^2-4\cdot1\cdot11=5>0\), поэтому представить можно:

\(x^2-7x+11=\left(x-\frac{7+\sqrt5}{2}\right)\left(x-\frac{7-\sqrt5}{2}\right)\).

г) \(3y^2-12y+12=3(y^2-4y+4)=3(y-2)^2\).

Ответ: а) можно; б) нельзя; в) можно; г) можно.