64. Рассуждаем. а) Найдите дробь, которая больше \(\frac{1}{c^2+2}\). Проверьте, что дробь \(\frac{c-c^2}{c^3+2c}\) меньше \(\frac{1}{c^2+2}\). б) Найдите дробь, которая меньше \(\frac{1}{c^2+2}\).

а) Дробь \(\frac{1}{c^2+2}\) положительна при любом действительном \(c\), поскольку \(c^2+2>0\). Например, вдвое большая дробь — \(\frac{2}{c^2+2}\).

Для указанной дроби необходимо учитывать область определения: \(c\ne0\), так как \(c^3+2c=c(c^2+2)\). Сравним дроби:

\[\frac{c-c^2}{c^3+2c}=\frac{c(1-c)}{c(c^2+2)}=\frac{1-c}{c^2+2},\quad c\ne0.\]

Чтобы она была меньше \(\frac1{c^2+2}\), нужно и достаточно, чтобы \(1-c<1\), то есть \(c>0\). Следовательно, утверждение верно при \(c>0\), но неверно для всех допустимых \(c\): например, при \(c=-1\) дробь равна \(\frac23>\frac13\).

б) Например, \(\frac{1}{2(c^2+2)}\) меньше \(\frac{1}{c^2+2}\), поскольку знаменатели положительны и второй дробный множитель равен половине.

Ответ: а) например, \(\frac{2}{c^2+2}\); данная дробь меньше \(\frac{1}{c^2+2}\) только при \(c>0\). б) например, \(\frac{1}{2(c^2+2)}\).