641. Построить график функции и найти значения x, при которых y = 0, y > 0, y < 0: 1) y = 2x² − 3; 2) y = −2x² + 1; 3) y = 2(x − 1)²; 4) y = 2(x + 2)²; 5) y = 2(x − 3)² + 1; 6) y = −3(x − 1)² + 5; 7) y = x² + 2x − 8; 8) y = x² − 4x + 3.

Обозначим \(a=\frac{\sqrt6}{2}\), \(b=\frac{\sqrt2}{2}\), \(c=1-\frac{\sqrt{15}}{3}\), \(d=1+\frac{\sqrt{15}}{3}\). В графиках показаны эскизы парабол; знаки функции определяются по их нулям и направлению ветвей.

1) \(y=2x^2-3\). Решаем \(2x^2-3=0\): \(x=\pm a\). Ветви направлены вверх, поэтому функция положительна вне корней и отрицательна между ними. Нули: \(x=\pm a\); \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-a)\cup(a;+)\); \(y<0\) при \(x\in(-a;a)\).

2) \(y=-2x^2+1\). Нули находятся из \(2x^2=1\): \(x=\pm b\). Ветви направлены вниз. Нули: \(x=\pm b\); \(y>0\) при \(x\in(-b;b)\); \(y<0\) при \(x\in(-\infty;-b)\cup(b;+)\).

3) \(y=2(x-1)^2\). Квадрат равен нулю при \(x=1\) и положителен при остальных \(x\). Нуль: \(x=1\); \(y>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(1;+)\); значений \(x\), при которых \(y<0\), нет.

4) \(y=2(x+2)^2\). Нуль: \(x=-2\). \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-2)\cup(-2;+)\); \(y<0\) решений не имеет.

5) \(y=2(x-3)^2+1\). Так как квадрат неотрицателен, \(y\geq1\). Нулей нет; \(y>0\) при всех \(x\in\mathbb R\); \(y<0\) решений не имеет.

6) \(y=-3(x-1)^2+5\). Из уравнения \(y=0\) получаем \((x-1)^2=\frac53\), поэтому корни \(c\) и \(d\). Ветви направлены вниз. Нули: \(x=c,d\); \(y>0\) при \(x\in(c;d)\); \(y<0\) при \(x\in(-\infty;c)\cup(d;+)\).

7) \(y=x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\). Нули: \(-4\) и \(2\). Ветви направлены вверх, поэтому \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-4)\cup(2;+)\), а \(y<0\) при \(x\in(-4;2)\).

8) \(y=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\). Нули: \(1\) и \(3\). Ветви направлены вверх, поэтому \(y>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(3;+)\), а \(y<0\) при \(x\in(1;3)\).