65. Площадь прямоугольника равна 16√3 см², а угол между его диагоналями — 60°. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим диагональ прямоугольника через d. Площадь четырёхугольника через диагонали и угол между ними вычисляется по формуле: S = ½d² sin 60°.

Подставим данные: 16√3 = ½d² · √3/2, откуда d² = 64 и d = 8 см.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Тогда a² + b² = 64 по теореме Пифагора, а ab = 16√3 по формуле площади.

(a + b)² = 64 + 32√3, а (a − b)² = 64 − 32√3. Подходящие значения — a = 4√3 см и b = 4 см: сумма квадратов равна 64, а произведение — 16√3.

Ответ: 4 см и 4√3 см.