66. Воспользовавшись данными на рисунках, найдите площадь треугольника MPT: а) MT = 8, PT = 4, внешний угол PTO = 120°; б) PT = 4, ∠T = 45°, ∠M = ∠P; в) MP = 6, MT = √2, ∠M = 135°; г) PT = 5, треугольник MPT равносторонний.

Используем формулу площади по двум сторонам и углу между ними: \(S=\frac12 ab\sin C\).

1. а) Так как лучи TM и TO — противоположные, то \(\angle MTP=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).
   \(S=\frac12\cdot 8\cdot 4\cdot\sin60^\circ=16\cdot\frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3.\)
2. б) Углы при M и P равны, поэтому стороны, лежащие напротив них, равны: \(MT=PT=4\).
   \(S=\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin45^\circ=8\cdot\frac{\sqrt2}{2}=4\sqrt2.\)
3. в) \(S=\frac12\cdot MP\cdot MT\cdot\sin135^\circ=\frac12\cdot6\cdot\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=3.\)
4. г) В равностороннем треугольнике угол между сторонами равен \(60^\circ\):
   \(S=\frac12\cdot5\cdot5\cdot\sin60^\circ=\frac{25\sqrt3}{4}.\)

Ответ: а) \(8\sqrt3\); б) \(4\sqrt2\); в) \(3\); г) \(\frac{25\sqrt3}{4}\).