668. Докажите, что два равносторонних треугольника подобны, используя все три признака подобия; для каждого случая выполните рисунок.

Пусть даны равносторонние треугольники ABC и A₁B₁C₁. В каждом из них все углы равны 60°, а все стороны соответственно равны между собой. Обозначим стороны первого треугольника через a, второго — через b.

1-й признак — по двум углам. ∠A = ∠A₁ = 60° и ∠B = ∠B₁ = 60°. Следовательно, ABC ∼ A₁B₁C₁ по двум углам.

2-й признак — по двум сторонам и углу между ними. AB = BC = a и A₁B₁ = B₁C₁ = b, поэтому AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = a/b. Углы между этими сторонами равны: ∠B = ∠B₁ = 60°. Следовательно, треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

3-й признак — по трём сторонам. AB = BC = CA = a и A₁B₁ = B₁C₁ = C₁A₁ = b. Поэтому AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CA/C₁A₁ = a/b. Следовательно, треугольники подобны по трём пропорциональным сторонам.

Таким образом, каждая пара равносторонних треугольников удовлетворяет условиям каждого из трёх признаков подобия.