675. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Пусть ABCD - трапеция с основаниями AD и BC. Пусть M и N - середины диагоналей AC и BD, соответственно. Проведём линию через точки M и N. Обозначим середину стороны AB через P, а середину стороны CD через Q.

1. Отрезок PM - средняя линия в треугольнике ABC. Следовательно PM || BC и PM = BC/2.
2. Отрезок PN - средняя линия в треугольнике ABD. Следовательно PN || AD и PN = AD/2.
3. Отрезок MQ - средняя линия в треугольнике ACD. Следовательно MQ || AD и MQ = AD/2.
4. Отрезок NQ - средняя линия в треугольнике BCD. Следовательно NQ || BC и NQ = BC/2.
5. Так как PM || BC, NQ || BC, PN || AD и MQ || AD, а BC || AD, то PM || NQ и PN || MQ.
6. Значит, PMQN является параллелограммом, а MN параллелен основаниям трапеции.
7. Рассмотрим треугольник ABC. MN = |MQ - PM| = |AD/2 - BC/2| = |(AD - BC)/2|. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности. Что и требовалось доказать.