676. Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 18 см. Середина M стороны AB соединена с вершиной D. Найдите отрезки, на которые делится диагональ AC отрезком DM.

Обозначим точку пересечения DM и AC как точку O. Пусть стороны параллелограмма AB=CD=a, AD=BC=b.
1. Рассмотрим треугольники ADO и CMO: углы DAO и MCO равны как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей AC. Также углы ADO и CMO равны как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей DM.
2. Из-за подобия треугольников ADO и CMO имеем: AO/CO = AD/CM. Поскольку M – середина AB, и AB=CD=a, то CM=3a/2, так как AB=a, тогда AM = a/2. И так как AD=BC=b, то AD/CM= b/(3a/2).
3. Принимая за х отрезок AO, а за y отрезок OC, имеем x+y=18. А также x/y=AD/CM. Поскольку AM = a/2, и M – середина AB, то можем провести дополнительную медиану в треугольнике ABD, пересекающую диагональ BD в точке O1, которая будет делить диагональ в отношении 2:1. Отсюда следует, что точка О делит диагональ АС в отношении 2:1. То есть AO/OC=2/1. Следовательно AO = 2 * OC.
4. Подставляем 2 * OC в первое уравнение: 2 * OC + OC = 18, 3 * OC = 18, OC = 6. Тогда AO = 18 - 6 = 12. Отрезок DM делит диагональ AC на отрезки длиной 12 см и 6 см. Ответ: 12 см и 6 см.