675. Стороны угла O касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке A. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой OA.

Доказательство: 1. Пусть O1 и O2 - центры окружностей. 2. Касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Значит, радиус O1A перпендикулярен общей касательной в точке A. Аналогично, радиус O2A также перпендикулярен этой касательной. 3. Поскольку оба радиуса (O1A и O2A) перпендикулярны одной и той же прямой, они лежат на одной прямой. 4. Точка O является вершиной угла, касательные которого являются касательными к обеим окружностям. Следовательно, прямая OA является осью симметрии для обеих окружностей. 5. Центр окружности, в силу симметрии, должен лежать на оси симметрии, следовательно, центры окружностей O1 и O2 лежат на прямой OA. Таким образом, доказано, что центры окружностей лежат на прямой OA.