676. Стороны угла A касаются окружности с центром O радиуса r. Найдите: а) OA, если r=5 см, ∠A = 60°; б) r, если OA = 14 дм, ∠A = 90°.

Решение: а) Дано: r = 5 см, ∠A = 60°. Пусть касательная к окружности в точке касания B. Тогда OB = r = 5 см. Треугольник OBA - прямоугольный с прямым углом B. Угол BAO равен половине угла A, т.е. 60°/2 = 30°. В прямоугольном треугольнике OBA против угла 30° лежит катет OB, равный половине гипотенузы OA. Следовательно, OA = 2 * OB = 2 * r = 2 * 5 см = 10 см. Ответ: OA = 10 см. б) Дано: OA = 14 дм, ∠A = 90°. Пусть касательная к окружности в точке касания C. Тогда OC = r. Угол OAC равен половине угла A, то есть 90°/2 = 45°. Треугольник OAC - прямоугольный, и ∠AOC равен 180-90-45 = 45°. Значит, треугольник OAC - равнобедренный с OC = AC = r. При этом, треугольник OAC - равнобедренный прямоугольный. По теореме Пифагора OA^2 = OC^2 + AC^2 = r^2 + r^2 = 2r^2, OA = sqrt(2) * r. Следовательно, r = OA / sqrt(2) = 14 дм / sqrt(2) = 14 * sqrt(2) / 2 = 7 * sqrt(2) дм. Ответ: r = 7 * sqrt(2) дм.