68. На рисунке 48 ∠AOB = 50°, ∠FOE = 70°. Найдите углы AOC, BOF, COE и COD.

На рисунке противоположные лучи: OA и OD, OB и OE, OC и OF.

1. Так как OA и OD — противоположные лучи, а OB лежит между ними, \(\angle AOB+\angle BOD=180^\circ\). Поэтому \(\angle BOD=180^\circ-50^\circ=130^\circ\).
2. Углы \(\angle AOC\) и \(\angle FOD\) — вертикальные. С учётом порядка лучей и \(\angle FOE=70^\circ\), получаем проще через направление лучей: от OA до OB — 50°, от OF до OE — 70°. По вертикальности \(\angle BOF=\angle AOE\), а вычисления по развернутым углам дают искомые значения.
3. Поскольку \(\angle AOB\) и \(\angle DOE\) вертикальные, \(\angle DOE=50^\circ\). Лучи D, E, F идут в указанном на рисунке порядке, значит \(\angle DOF=\angle DOE+\angle EOF=50^\circ+70^\circ=120^\circ\). Вертикальный ему угол \(\angle AOC=120^\circ\).
4. Из развернутого угла AOD: \(\angle AOC+\angle COD=180^\circ\), поэтому \(\angle COD=60^\circ\). Также \(\angle BOF\) вертикален углу между лучами OE и OC; из развернутого угла BOE следует \(\angle BOF=110^\circ\), и вертикальный ему \(\angle COE=110^\circ\).

Ответ: \(\angle AOC=120^\circ\), \(\angle BOF=110^\circ\), \(\angle COE=110^\circ\), \(\angle COD=60^\circ\).