69. Вычислить: 1) 2^(2−3√5) · 8^√5; 2) 3^(1+2√3) : 9^(3/2); 3) (5^(1+√2))^(1−√2); 4) (5^(1−√5))^(1+√5) − (√5)^0.

Представим 8 как степень числа 2:

\(2^{2-3\sqrt5}\cdot 8^{\sqrt5}=2^{2-3\sqrt5}\cdot 2^{3\sqrt5}=2^2=4.\)

Представим 9 как степень числа 3:

\(3^{1+2\sqrt3}:9^{3/2}=3^{1+2\sqrt3}:3^3=3^{2\sqrt3-2}.\)

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

\((5^{1+\sqrt2})^{1-\sqrt2}=5^{(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)}=5^{-1}=\frac15.\)

Перемножим сопряжённые выражения в показателе и учтём, что ненулевое число в нулевой степени равно 1:

\((5^{1-\sqrt5})^{1+\sqrt5}-(\sqrt5)^0=5^{1-5}-1=\frac1{625}-1=-\frac{624}{625}.\)