697 Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ = 17; б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС = 24, АВ = 25.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, где $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза. Также будем использовать определения тригонометрических функций: $$\sin \alpha = \frac{a}{c}$$, $$\cos \alpha = \frac{b}{c}$$, $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}$$.

а) ВС = 8, АВ = 17

• Найдём АС: $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$.
• $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$$.
• $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$$.
• $$\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}$$.
• $$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$$.
• $$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$$.
• $$\operatorname{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}$$.

б) ВС = 21, АС = 20

• Найдём АВ: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$$.
• $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$$.
• $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$$.
• $$\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20}$$.
• $$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$$.
• $$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$$.
• $$\operatorname{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}$$.

в) ВС = 1, АС = 2

• Найдём АВ: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$.
• $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$.
• $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$.
• $$\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$$.
• $$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$.
• $$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$.
• $$\operatorname{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2$$.

г) АС = 24, АВ = 25

• Найдём ВС: $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7$$.
• $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$$.
• $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$$.
• $$\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24}$$.
• $$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$$.
• $$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$$.
• $$\operatorname{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7}$$.