6 На рисунке МВ ⊥ ABC; ∠BAC=30°; AC=2√2; MC = 2. Найдите угол между МС и плоскостью АМВ. 1) 30° 2) 60° 3) 90° 4) 45° M B

1. Анализ условия и рисунка:

• MB ⊥ ABC (MB перпендикулярна плоскости треугольника ABC).
• ∠BAC = 30°.
• AC = 2√2.
• MC = 2.
• Нужно найти угол между прямой MC и плоскостью AMB.

2. Определение угла между прямой и плоскостью:

• Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
• Проекция прямой MC на плоскость AMB.
• Так как MB ⊥ ABC, то MB перпендикулярна любой прямой в плоскости ABC, проходящей через B.
• Рассмотрим треугольник ABC. Найдем длину AB.
• В прямоугольном треугольнике ABC (угол B = 90°):
• AB = AC * cos(∠BAC) = 2√2 * cos(30°) = 2√2 * (√3/2) = √6.
• BC = AC * sin(∠BAC) = 2√2 * sin(30°) = 2√2 * (1/2) = √2.
• Теперь рассмотрим плоскость AMB.
• MB ⊥ AB (так как MB ⊥ ABC).
• MB ⊥ AM (так как MB ⊥ ABC).
• Найдем длину MB.
• Рассмотрим треугольник MBC. Он прямоугольный, так как MB ⊥ BC.
• MC² = MB² + BC².
• 2² = MB² + (√2)².
• 4 = MB² + 2.
• MB² = 4 - 2 = 2.
• MB = √2.
• Теперь у нас есть все стороны треугольника AMB.
• AM² = AB² + MB² = (√6)² + (√2)² = 6 + 2 = 8.
• AM = √8 = 2√2.
• Проекция прямой MC на плоскость AMB.
• Так как MB ⊥ ABC, то MB перпендикулярна AB и AM.
• Рассмотрим прямую MC.
• Проекция точки C на плоскость AMB.
• Так как MB ⊥ AB, то ∠MBA = 90°.
• Плоскость AMB.
• Прямая MC.
• Точка M лежит в плоскости AMB.
• Нужно найти проекцию точки C на плоскость AMB.
• Рассмотрим треугольник MBC. MB = √2, BC = √2, MC = 2.
• Это прямоугольный треугольник (MB ⊥ BC).
• Так как MB = BC = √2, то треугольник MBC — равнобедренный прямоугольный треугольник.
• Углы ∠BMC и ∠BCM равны 45°.
• Угол между MC и плоскостью AMB.
• Проекция точки C на плоскость AMB.
• Так как MB ⊥ AB, то AB — проекция AB на плоскость AMB.
• Так как MB ⊥ BC, то BC — проекция BC на плоскость AMB.
• Точка C не лежит в плоскости AMB.
• MB ⊥ AB, MB ⊥ BC.
• Угол между MC и плоскостью AMB.
• Проекция MC на плоскость AMB.
• Проекцией точки C на плоскость AMB будет точка, которую мы найдем, проведя перпендикуляр из C на плоскость AMB.
• Однако, MB уже перпендикулярна плоскости ABC, которая содержит BC.
• Угол между MC и плоскостью AMB.
• MB ⊥ AM, MB ⊥ AB.
• Рассмотрим треугольник MBC. MB ⊥ BC.
• Угол между MC и плоскостью AMB.
• Нужно найти проекцию C на плоскость AMB.
• Так как MB ⊥ ABC, то MB перпендикулярна любой прямой в ABC.
• Рассмотрим прямую MC.
• Проекция C на плоскость AMB.
• MB ⊥ AB.
• Рассмотрим треугольник MBC. MB=√2, BC=√2, MC=2.
• ∠MBC = 90°.
• Треугольник MBC — равнобедренный прямоугольный.
• Угол ∠BMC = 45°.
• Угол между MC и плоскостью AMB.
• Плоскость AMB. MB — перпендикуляр к плоскости ABC.
• Рассмотрим проекцию MC на плоскость AMB.
• Точка M находится в плоскости AMB.
• Проекция C на плоскость AMB.
• Так как MB ⊥ AB, MB ⊥ AM, MB ⊥ BC.
• Угол между MC и плоскостью AMB.
• Рассмотрим треугольник MBC. MB=√2, BC=√2, MC=2. ∠MBC = 90°.
• Угол между MC и плоскостью AMB.
• В плоскости AMB, MB перпендикулярна AM.
• Рассмотрим треугольник MBC. MB ⊥ BC.
• Угол между MC и плоскостью AMB.
• Проекция C на плоскость AMB.
• MB ⊥ AM.
• Пусть K — проекция C на плоскость AMB. Тогда CK ⊥ AMB.
• Но MB ⊥ AMB.
• Значит, проекция C на плоскость AMB будет лежать на прямой, проходящей через C и перпендикулярной AMB.
• MB является такой прямой.
• Значит, проекция C на плоскость AMB — это точка B.
• Таким образом, проекция MC на плоскость AMB — это MB.
• Угол между MC и MB — это угол ∠CMB.
• В прямоугольном треугольнике MBC, MB = √2, BC = √2, MC = 2.
• tg(∠CMB) = BC / MB = √2 / √2 = 1.
• ∠CMB = arctg(1) = 45°.

Ответ: 45°