6 Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и характеристиками этих функций на отрезке [0;4]: для каждой функции, обозначенной буквой, подберите соответствующую характеристику, обозначенную цифрой. ФОРМУЛЫ A) \( y = 3 - 12x \) Б) \( y = -3x^2 + 7x - 7 \) B) \( y = x^2 - x + 2 \) Г) \( y = 2x - 6 \) ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) функция убывает на отрезке [0;4] 2) функция принимает положительное значение в каждой точке отрезка [0;4] 3) функция возрастает на отрезке [0;4] 4) функция принимает отрицательное значение в каждой точке отрезка [0;4] Запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами. Ответ: А Б В Г

Решение:

Проанализируем каждую функцию на отрезке \( [0;4] \).

A) \( y = 3 - 12x \)

Это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом (\( -12 \)). Такая функция убывает на всей числовой прямой, следовательно, и на отрезке \( [0;4] \).

При \( x=0, y=3 \). При \( x=4, y=3-12(4) = 3-48 = -45 \). На отрезке функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, но на всём отрезке она убывает.

Характеристика: 1) функция убывает на отрезке [0;4].

Б) \( y = -3x^2 + 7x - 7 \)

Это квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при \( x^2 \). Ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2(-3)} = -\frac{7}{-6} = \frac{7}{6} \).

\( x_v = \frac{7}{6} \) находится в отрезке \( [0;4] \).

Значение функции в вершине: \( y_v = -3(\frac{7}{6})^2 + 7(\frac{7}{6}) - 7 = -3(\frac{49}{36}) + \frac{49}{6} - 7 = -\frac{49}{12} + \frac{98}{12} - \frac{84}{12} = \frac{-49+98-84}{12} = \frac{-35}{12} \).

Так как вершина — это максимальное значение (ветви вниз), а \( y_v < 0 \), то функция на отрезке \( [0;4] \) принимает только отрицательные значения.

Характеристика: 4) функция принимает отрицательное значение в каждой точке отрезка [0;4].

B) \( y = x^2 - x + 2 \)

Это квадратичная функция с положительным коэффициентом при \( x^2 \). Ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2(1)} = \frac{1}{2} \).

\( x_v = \frac{1}{2} \) находится в отрезке \( [0;4] \).

Значение функции в вершине: \( y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1 - 2 + 8}{4} = \frac{7}{4} \).

Так как вершина — это минимальное значение (ветви вверх), и \( y_v = \frac{7}{4} > 0 \), то функция на отрезке \( [0;4] \) принимает только положительные значения.

Характеристика: 2) функция принимает положительное значение в каждой точке отрезка [0;4].

Г) \( y = 2x - 6 \)

Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом (\( 2 \)). Такая функция возрастает на всей числовой прямой, следовательно, и на отрезке \( [0;4] \).

При \( x=0, y=-6 \). При \( x=4, y=2(4)-6 = 8-6 = 2 \). На отрезке функция принимает как отрицательные, так и положительные значения, но на всём отрезке она возрастает.

Характеристика: 3) функция возрастает на отрезке [0;4].

Ответ: