7.10. ABCDA₁B₁C₁D₁ кубының (параллелепипедінің) AB₁ түзуі келесі жазықтықтарға параллель екенін дәлелдеңдер: а) CDD₁; ә) BDC₁.

Параллелепипедте \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) және \(\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{DD_1}\). Сондықтан

\[\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DD_1}.\]

а) CDD₁ жазықтығында DC және DD₁ қиылысатын екі түзу жатыр. Олардың бағыттық векторларының қосындысы да осы жазықтыққа параллель бағытты анықтайды. Демек, \(AB_1\) түзуі CDD₁ жазықтығына параллель:

\[AB_1 \parallel (CDD_1).\]

ә) BDC₁ жазықтығында \(\overrightarrow{BD}\) және \(\overrightarrow{BC_1}\) векторлары жатыр. Есептейік:

\[\overrightarrow{BC_1}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC_1}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB_1}.\]

Демек, \(AB_1\) түзуінің бағыты BDC₁ жазықтығында жатқан екі бағыттың сызықтық комбинациясы болып табылады. Сонымен қатар, \(AB_1\) бұл жазықтықты қимайды.

Жауап: \(AB_1\parallel(CDD_1)\) және \(AB_1\parallel(BDC_1)\).