Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 7.16. Б. Проведите полное исследование функции и постройте её график: 1) y = 3x + 2; x ∈ [−1; 3]; 2) y = 5 − 2x; x ≥ 0; 3)…Фото задания

Ответ:

  1. Область определения: \([-1,3]\). Функция \(y=3x+2\) возрастает; на концах отрезка принимает значения \(y(-1)=-1\) и \(y(3)=11\). Область значений: \([-1,11]\). Нуль: \(x=-\frac23\). График — отрезок прямой от \((-1,-1)\) до \((3,11)\).

  2. Область определения: \([0,+\infty)\), область значений: \(( -\infty,5]\). Функция убывает, наибольшее значение \(5\) при \(x=0\), нуль \(x=\frac52\). График — луч прямой, начинающийся в \((0,5)\).

  3. \(x^2+x-2=(x+2)(x-1)\), поэтому при \(x\ne1\): \(y=x+2\). Область определения: \(\mathbb R\setminus\{1\}\); область значений: \(\mathbb R\setminus\{3\}\). Возрастает на \(( -\infty,1)\) и \((1,+\infty)\). Нуль \(x=-2\). График — прямая \(y=x+2\) с выколотой точкой \((1,3)\).

  4. Точки смены знака: \(x=\frac12\) и \(x=3\). Следовательно, \(y=4-3x\) при \(x\leq\frac12\); \(y=2-x\) при \(\frac12\leq x\leq3\); \(y=3x-4\) при \(x\geq3\). Область определения: \(\mathbb R\), значений: \([ -\frac12,+\infty)\). Убывает до \(x=\frac12\), возрастает на \([\frac12,3]\), убывает на \([3,+\infty)\). Минимум \(\frac52\) при \(x=\frac12\); локальный максимум \(2\,\) при \(x=3\). Нули: \(x=\frac43\) и \(x=4\).

  5. При \(x\geq-2\), \(y=3x-(2x+4)=x-4\); при \(x<-2\), \(y=3x+(2x+4)=5x+4\). Область определения: \(\mathbb R\), значений: \(\mathbb R\). Функция возрастает на обеих частях и на всей прямой. Нуль: \(x=4\). Стыковая точка графика: \((-2,-6)\).

Для построения используйте указанные прямые и отрезки: в пункте 3 исключите точку \((1,3)\), в пункте 4 соедините точки перелома \((\frac12,\frac52)\) и \((3,5)\), в пункте 5 — точку \((-2,-6)\).