7.24. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) $y=2^x$, $[1;4]$; б) $y=\left(\frac13\right)^x$, $[-4;-2]$; в) $y=\left(\frac13\right)^x$, $[0;4]$; г) $y=2^x$, $[-4;2]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7.24. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) $y=2^x$, $[1;4]$; б)…$ Фото задания

7.24. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) $y=2^x$, $[1;4]$; б) $y=\left(\frac13\right)^x$, $[-4;-2]$; в) $y=\left(\frac13\right)^x$, $[0;4]$; г) $y=2^x$, $[-4;2]$.

Accepted Answer

Функция $2^x$ возрастает, так как её основание больше 1. Функция $\left(\frac13\right)^x$ убывает, так как её основание находится между 0 и 1. Поэтому экстремальные значения на каждом отрезке достигаются на его концах.

а) На $[1;4]$ функция возрастает: минимум $2^1=2$, максимум $2^4=16$.
б) На $[-4;-2]$ функция убывает: максимум $\left(\frac13\right)^{-4}=81$, минимум $\left(\frac13\right)^{-2}=9$.
в) На $[0;4]$ функция убывает: максимум $\left(\frac13\right)^0=1$, минимум $\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}$.
г) На $[-4;2]$ функция возрастает: минимум $2^{-4}=\frac1{16}$, максимум $2^2=4$.

Ответ: а) наименьшее значение 2, наибольшее 16; б) наименьшее 9, наибольшее 81; в) наименьшее $\frac1{81}$, наибольшее 1; г) наименьшее $\frac1{16}$, наибольшее 4.