7 (3 балла). Докажите: а) a(a − 2) < (a − 1)²; б) a² + 9b² ≥ 6ab.

а) Рассмотрим разность правой и левой частей:

\((a-1)^2-a(a-2)=a^2-2a+1-a^2+2a=1\).

Так как \(1>0\), правая часть больше левой:

\(a(a-2)<(a-1)^2\). Неравенство доказано.

б) Перенесём все слагаемые в левую часть и представим её в виде квадрата:

\(a^2+9b^2-6ab=a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2\).

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому

\((a-3b)^2\geq0\).

Следовательно, \(a^2+9b^2\geq6ab\). Неравенство доказано.