7.42. Сравните значения выражений: 1) 2³⁰⁰ и 3²⁰⁰; 2) 4¹⁸ и 18⁹; 3) 27²⁰ и 11³⁰; 4) 3¹⁰ · 5⁸ и 15⁹.

1) \(2^{300}=(2^3)^{100}=8^{100}\), а \(3^{200}=(3^2)^{100}=9^{100}\). Поскольку \(8<9\), получаем \(2^{300}<3^{200}\).

2) \(4^{18}=(4^2)^9=16^9\). Так как \(16<18\), то \(4^{18}<18^9\).

3) \(27^{20}=(27^2)^{10}=729^{10}\), а \(11^{30}=(11^3)^{10}=1331^{10}\). Поскольку \(729<1331\), то \(27^{20}<11^{30}\).

4) \(15^9=3^9\cdot5^9\). Сравниваем с \(3^{10}\cdot5^8\): первое выражение больше в \(3/5\)? На самом деле \(\frac{3^{10}\cdot5^8}{3^9\cdot5^9}=\frac35<1\), значит \(3^{10}\cdot5^8<15^9\).

Ответ: 1) <; 2) <; 3) <; 4) <.