7) \(6^{-19} \cdot (46^{7})^{3} \text{ при } b = -0,5\)

Анализ задачи:

В условии указана переменная 'b', но в самом выражении \( 6^{-19} \cdot (46^{7})^{3} \) она не используется. Вероятно, это опечатка или лишняя информация.

Будем решать выражение без учета значения 'b'.

Решение:

1. Упрощаем выражение с показателями степени:

   По правилу \( (a^{m})^{n} = a^{m \times n} \), мы можем умножить показатели степени во второй части выражения:

   \( (46^{7})^{3} = 46^{7 \times 3} = 46^{21} \)

2. Переписываем выражение:

   Теперь наше выражение выглядит так:

   \( 6^{-19} \cdot 46^{21} \)

3. Применяем отрицательный показатель:

   По правилу \( a^{-m} = \frac{1}{a^{m}} \), мы можем переписать \( 6^{-19} \) как \( \frac{1}{6^{19}} \):

   \( \frac{1}{6^{19}} \cdot 46^{21} = \frac{46^{21}}{6^{19}} \)

4. Дальнейшее упрощение (если возможно):

   Мы можем разложить \( 46^{21} \) как \( 46^{19} \cdot 46^{2} \) для того, чтобы иметь возможность сократить \( 6^{19} \) и \( 46^{19} \), если бы основания были одинаковыми или имели общие множители. Однако, 6 и 46 не являются одинаковыми основаниями.

   Мы можем попробовать разложить основания на простые множители:

   \( 6 = 2 \times 3 \)

   \( 46 = 2 \times 23 \)

   Подставляем это в выражение:

   \( \frac{(2 \times 23)^{21}}{(2 \times 3)^{19}} = \frac{2^{21} \times 23^{21}}{2^{19} \times 3^{19}} \)

   Теперь используем правило \( \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \):

   \( 2^{21-19} \times \frac{23^{21}}{3^{19}} = 2^{2} \times \frac{23^{21}}{3^{19}} = 4 \times \frac{23^{21}}{3^{19}} \)

Ответ: 4 \(\times\) \(\frac{23^{21}}{3^{19}}\)
или
\(\frac{46^{21}}{6^{19}}\)
или
\(\frac{2^{2} \times 23^{21}}{3^{19}}\)