№ 7 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 85, а основание равно 150. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) боковые стороны \( AB = BC = 85 \), основание \( AC = 150 \).

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \), где \( h \) — высота, проведённая к основанию.

Проведём высоту \( BH \) к основанию \( AC \). В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому \( AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{150}{2} = 75 \).

Теперь найдём высоту \( BH \) из прямоугольного треугольника \( ABH \) по теореме Пифагора: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).

\[ 85^2 = 75^2 + BH^2 \]

\[ 7225 = 5625 + BH^2 \]

\[ BH^2 = 7225 - 5625 = 1600 \]

\[ BH = \sqrt{1600} = 40 \]

Вычислим площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 40 = 75 \cdot 40 = 3000 \]

Ответ: 3000