7. Дан прямоугольный треугольник ABC. Найдите АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle B = 90° \).

Нам дан угол \( \angle A = 30° \) и прилежащий катет \( AB = 8 \).

Чтобы найти катет AC, воспользуемся формулой тангенса:

\( \tan A = \frac{BC}{AB} \)

\( \tan 30° = \frac{BC}{8} \)

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{8} \)

\( BC = \frac{8}{\sqrt{3}} \) \( = \frac{8\sqrt{3}}{3} \)

Теперь найдем гипотенузу AC по теореме Пифагора:

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)

\( AC^2 = 8^2 + \left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2 \)

\( AC^2 = 64 + \frac{64 \times 3}{9} \)

\( AC^2 = 64 + \frac{64}{3} \)

\( AC^2 = \frac{192 + 64}{3} \)

\( AC^2 = \frac{256}{3} \)

\( AC = \sqrt{\frac{256}{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: AC = \(\frac{16\sqrt{3}}{3}\).