7. Дано: ABCD — квадрат. По рисунку точки E и F лежат на диагонали AC, причём AE = FC. Доказать: BFDE — ромб.

Обозначим сторону квадрата через a, а длину AE и FC через x. Тогда EF = AC − AE − FC = AC − 2x.

Введём координаты: A(0; 0), B(0; a), C(a; a), D(a; 0). Так как E и F лежат на диагонали AC, получаем E(x; x), F(a − x; a − x).

Вычислим квадраты длин сторон четырёхугольника:

BF² = (a − x)² + x²;

FD² = x² + (a − x)²;

DE² = (a − x)² + x²;

EB² = x² + (a − x)².

Следовательно, BF = FD = DE = EB. Значит, четырёхугольник BFDE — ромб.

Ответ: BFDE — ромб.