8. Дано: ABCD — квадрат. По рисунку точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на AB, BC, CD, DA, причём AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — квадрат.

Обозначим сторону квадрата через a, а общую длину AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ через x. Выберем координаты A(0; 0), B(0; a), C(a; a), D(a; 0). Тогда A₁(0; x), B₁(x; a), C₁(a; a − x), D₁(a − x; 0).

Найдём векторы соседних сторон: A₁B₁ = (x; a − x), B₁C₁ = (a − x; −x). Их скалярное произведение равно x(a − x) − x(a − x) = 0, поэтому соседние стороны перпендикулярны.

Кроме того, A₁B₁² = x² + (a − x)² и B₁C₁² = (a − x)² + x², значит, A₁B₁ = B₁C₁. Четырёхугольник с равными соседними сторонами и прямым углом между ними — квадрат.

Ответ: A₁B₁C₁D₁ — квадрат.