9. Дано: ABCD — квадрат. По рисунку точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на AB, BC, CD, DA, причём BA₁ = BB₁ = DC₁ = DD₁. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — прямоугольник.

Обозначим сторону квадрата через a, а общую длину отрезков BA₁, BB₁, DC₁ и DD₁ через x. Возьмём координаты A(0; 0), B(0; a), C(a; a), D(a; 0). Тогда A₁(0; a − x), B₁(x; a), C₁(a; x), D₁(a − x; 0).

Векторы соседних сторон равны A₁B₁ = (x; x) и B₁C₁ = (a − x; −(a − x)). Их скалярное произведение равно x(a − x) − x(a − x) = 0, поэтому стороны A₁B₁ и B₁C₁ перпендикулярны.

Противоположные стороны параллельны: A₁B₁ и C₁D₁ имеют наклон 1, а B₁C₁ и D₁A₁ — наклон −1. Следовательно, A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.

Ответ: A₁B₁C₁D₁ — прямоугольник.