7. Дано: плоскость α пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках B₁ и C₁ соответственно. B₁C₁ ∥ BC, B₁C₁ = 6, AC₁ : C₁C = 3 : 4. Найти BC.

Поскольку AC₁ : C₁C = 3 : 4, весь отрезок AC состоит из 3 + 4 = 7 равных частей, а AC₁ составляет 3 такие части. Поэтому AC₁/AC = 3/7.

Из B₁C₁ ∥ BC следует, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны. Их соответствующие стороны относятся одинаково:

\(\dfrac{B_1C_1}{BC}=\dfrac{AC_1}{AC}=\dfrac{3}{7}\).

Подставим B₁C₁ = 6: \(\dfrac{6}{BC}=\dfrac{3}{7}\), откуда \(BC=6\cdot\dfrac{7}{3}=14\).

Ответ: BC = 14.