№7. Доказать, что в равнобедренной трапеции: а) углы при основаниях равны; б) диагонали равны.

Пусть \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, где \(AD\parallel BC\) и боковые стороны \(AB=CD\).

а) Углы при основаниях равны. Опустим перпендикуляры из \(B\) и \(C\) на основание \(AD\), обозначив их основания \(E\) и \(F\). Четырёхугольник \(BECF\) — прямоугольник, поэтому \(EF=BC\). Поскольку \(AD=AE+EF+FD\), а прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(CDF\) имеют равные гипотенузы \(AB=CD\) и равные катеты \(BE=CF\), они равны. Значит, \(AE=FD\) и \(\angle A=\angle D\). Из параллельности оснований следует, что \(\angle A+\angle B=180^\circ\) и \(\angle D+\angle C=180^\circ\); поскольку \(\angle A=\angle D\), получаем \(\angle B=\angle C\).

б) Диагонали равны. Рассмотрим треугольники \(BAD\) и \(CDA\). У них \(AB=CD\) (боковые стороны равнобедренной трапеции), \(AD\) — общая сторона, а \(\angle BAD=\angle CDA\) по пункту а). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие диагонали равны: \(BD=AC\).