7. Докажите: а) a(a − 2) < (a − 1)²; б) a² + 9b² ≥ 6ab.

а)

Раскроем скобки и сравним правую и левую части:

\((a-1)^2-a(a-2)=a^2-2a+1-(a^2-2a)=1\).

Так как \(1>0\), то \((a-1)^2>a(a-2)\).

Следовательно, \(a(a-2)<(a-1)^2\).

б)

Рассмотрим разность левой и правой частей:

\(a^2+9b^2-6ab=(a-3b)^2\).

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому:

\((a-3b)^2\geq0\).

Следовательно, \(a^2+9b^2\geq6ab\).

Что и требовалось доказать.