7. Докажите, что \(BD\perp AC\).

На рисунке \(AB=BC\), а луч \(BD\) делит угол \(ABC\) пополам, поэтому \(\angle ABD=\angle DBC\).

1. В треугольниках \(ABD\) и \(CBD\): \(AB=BC\) по условию.
2. Сторона \(BD\) — общая.
3. Углы между этими сторонами равны: \(\angle ABD=\angle DBC\).
4. Следовательно, \(\triangle ABD=\triangle CBD\) по первому признаку.
5. Из равенства треугольников следует равенство углов при точке \(D\): \(\angle ADB=\angle BDC\).
6. Эти углы смежные, так как точки \(A,D,C\) лежат на одной прямой. Их сумма равна \(180^\circ\), поэтому каждый угол равен \(90^\circ\).

Значит, \(BD\) перпендикулярна \(AC\).

Ответ: \(BD\perp AC\).