7. Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является одновременно медианой и высотой.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны равны: AB = AC. Биссектриса AD проведена к основанию BC.

1. Так как AD — биссектриса, то ∠BAD = ∠DAC.
2. Сторона AD — общая для треугольников ABD и ACD.
3. Кроме того, AB = AC.
4. Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними.
5. Из равенства треугольников получаем BD = DC. Значит, AD является медианой.
6. Также ∠ADB = ∠CDA. Эти углы смежные, поэтому каждый из них равен 90°. Следовательно, AD перпендикулярна BC и является высотой.

Ответ: биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является одновременно медианой и высотой.