7. Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно равны: \(AB=CD\) и \(BC=AD\). Проведём диагональ \(AC\).

В треугольниках \(ABC\) и \(CDA\): \(AB=CD\), \(BC=DA\), а сторона \(AC\) общая. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство накрест лежащих углов: \(\angle BAC=\angle DCA\) и \(\angle BCA=\angle DAC\). Поэтому \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\). Четырёхугольник с обеими парами противоположных сторон, параллельных друг другу, является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.