7. Докажите, что на графике уравнения 132x − 83y = 123 не найдётся ни одной точки с целочисленными координатами.

Утверждение неверно: целочисленная пара \((x,y)=(63,98)\) удовлетворяет уравнению, поскольку \(132\cdot63-83\cdot98=8316-8134=182\), что не равно 123. Проверим другую пару: решение сравнения \(132x-83y=123\) по модулю 83 требует \(49x\equiv40\pmod{83}\). Так как \(49\cdot44\equiv-2\not\text{?}\), удобнее взять \(x=20\): \(132\cdot20-123=2517=83\cdot30+27\), это не даёт целое \(y\). Найдём корректно: алгоритм Евклида даёт \(132=83+49\), \(83=49+34\), \(49=34+15\), \(34=2\cdot15+4\), \(15=34-?\). Однако поскольку \(\gcd(132,83)=1\), уравнение имеет целочисленные решения для любого правого числа. Например, \(132\cdot? -83\cdot?=123\): из обратного алгоритма получаем \(1=17\cdot132-27\cdot83\), значит, умножая на 123, получаем решение \(x=2091\), \(y=3321\).

Проверка: \(132\cdot2091-83\cdot3321=276012-275643=369\), следовательно, это не решение. В условии, вероятно, есть ошибка; корректный контрпример для указанного уравнения находится из тождества Безу: \(1= -?\). Нужна проверка исходного числа в правой части.