7. Докажите, что значение выражения 7³⁷ − 2 кратно 5.

Решение:

Рассмотрим последние цифры степеней числа 7:

• \( 7¹ = 7 \)
• \( 7² = 49 \) (последняя цифра 9)
• \( 7³ = 343 \) (последняя цифра 3)
• \( 7⁴ = 2401 \) (последняя цифра 1)
• \( 7⁵ = 16807 \) (последняя цифра 7)

Последние цифры степеней числа 7 повторяются с циклом в 4 единицы: 7, 9, 3, 1.

Чтобы найти последнюю цифру \( 7^{37} \), нужно найти остаток от деления показателя степени 37 на 4:

\( 37 \div 4 = 9 \) с остатком \( 1 \).

Следовательно, последняя цифра \( 7^{37} \) совпадает с последней цифрой \( 7¹ \), то есть равна 7.

Теперь рассмотрим выражение \( 7^{37} - 2 \). Его последняя цифра будет равна последней цифре разности \( 7 - 2 \), то есть 5.

Число, оканчивающееся на 5, делится на 5 без остатка (кратно 5).

Что и требовалось доказать.