7. Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого автомобиля, \( v_2 \) — скорость второго автомобиля.

По условию:

• \( v_1 = v_2 + 20 \) (км/ч)
• \( S = 240 \) км
• \( t_1 = t_2 - 1 \) (ч)

Вспомним формулу \( t = \frac{S}{v} \).

Тогда:

• \( t_1 = \frac{240}{v_1} \)
• \( t_2 = \frac{240}{v_2} \)

Подставим в уравнение \( t_1 = t_2 - 1 \):

\( \frac{240}{v_1} = \frac{240}{v_2} - 1 \)

Заменим \( v_2 = v_1 - 20 \):

\( \frac{240}{v_1} = \frac{240}{v_1 - 20} - 1 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{240(v_1 - 20)}{v_1(v_1 - 20)} = \frac{240v_1}{v_1(v_1 - 20)} - \frac{v_1(v_1 - 20)}{v_1(v_1 - 20)} \)

\( 240(v_1 - 20) = 240v_1 - v_1(v_1 - 20) \)

\( 240v_1 - 4800 = 240v_1 - v_1^2 + 20v_1 \)

\( -4800 = -v_1^2 + 20v_1 \)

\( v_1^2 - 20v_1 - 4800 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-20)^2 - 4(1)(-4800) = 400 + 19200 = 19600 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140 \)

\( v_1 = \frac{20 ± 140}{2} \)

\( v_1 = \frac{160}{2} = 80 \) или \( v_1 = \frac{-120}{2} = -60 \).

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v_1 = 80 \) км/ч.

Ответ: 80 км/ч.