7. Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение:

1. Пусть \(v_2\) — скорость второго автомобиля (км/ч), тогда скорость первого автомобиля \(v_1 = v_2 + 20\) (км/ч).
2. Время в пути для первого автомобиля: \(t_1 = \frac{240}{v_1} = \frac{240}{v_2 + 20}\) (ч).
3. Время в пути для второго автомобиля: \(t_2 = \frac{240}{v_2}\) (ч).
4. По условию, первый автомобиль прибывает на 1 ч раньше второго: \(t_2 - t_1 = 1\).
5. Подставим выражения для времени: \(\frac{240}{v_2} - \frac{240}{v_2 + 20} = 1\).
6. Приведём к общему знаменателю: \(\frac{240(v_2 + 20) - 240v_2}{v_2(v_2 + 20)} = 1\)
   \(240v_2 + 4800 - 240v_2 = v_2^2 + 20v_2\)
   \(4800 = v_2^2 + 20v_2\)
   \(v_2^2 + 20v_2 - 4800 = 0\).
7. Решим квадратное уравнение для \(v_2\):
   \(D = 20^2 - 4 · 1 · (-4800) = 400 + 19200 = 19600\)
   \(√{D} = √{19600} = 140\)
   \(v_2 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60\) (км/ч) или \(v_2 = \frac{-20 - 140}{2} = -80\) (км/ч). Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(v_2 = 60\) км/ч.
8. Найдем скорость первого автомобиля: \(v_1 = v_2 + 20 = 60 + 20 = 80\) (км/ч).

Ответ: 80 км/ч.