7. Элементы прямоугольного треугольника MKN (∠K = 90°). TN − MT = 11, KN : KM = 6 : 5. Найти элементы по рисунку.

В прямоугольном треугольнике высота \(KT\), проведённая к гипотенузе \(MN\), делит её на отрезки:

\[MT=\frac{KM^2}{MN},\qquad TN=\frac{KN^2}{MN}.\]

Пусть \(KN=6x\), \(KM=5x\). Тогда по теореме Пифагора:

\[MN=\sqrt{(6x)^2+(5x)^2}=x\sqrt{61}.\]

Следовательно,

\[TN-MT=\frac{(6x)^2-(5x)^2}{x\sqrt{61}}=\frac{11x}{\sqrt{61}}=11.\]

Отсюда \(x=\sqrt{61}\). Поэтому:

\[KN=6\sqrt{61},\qquad KM=5\sqrt{61},\qquad MN=61.\]

Также:

\[TN=36,\qquad MT=25.\]

Высота:

\[KT=\frac{KN\cdot KM}{MN}=\frac{6\sqrt{61}\cdot5\sqrt{61}}{61}=30.\]

Ответ: \(MN=61\), \(MT=25\), \(TN=36\), \(KT=30\), \(KM=5\sqrt{61}\), \(KN=6\sqrt{61}\).