Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 7. Интегралы для объёмов тел вращения. Вычислите выражения, каждое из которых задаёт объём тела вращения. 1) π∫₀² x dx = ____…Фото задания

Ответ:

1) Используем первообразную: \(\int x\,dx=\frac{x^2}{2}\).

\(\pi\int_0^2x\,dx=\pi\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^2=\pi\left(\frac{4}{2}-0\right)=2\pi\).

2) Раскроем квадрат: \((2x)^2=4x^2\).

\(\pi\int_0^1(2x)^2\,dx=4\pi\int_0^1x^2\,dx=4\pi\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac{4\pi}{3}\).

3) Раскроем квадрат: \((3-x)^2=x^2-6x+9\).

\(\pi\int_0^3(3-x)^2\,dx=\pi\left.\left(\frac{x^3}{3}-3x^2+9x\right)\right|_0^3\).

\(=\pi(9-27+27)=9\pi\).

Ответ: 1) \(2\pi\); 2) \(\frac{4\pi}{3}\); 3) \(9\pi\).