8. Нестандартное сечение и объём тела. Для каждого x от 0 до 2 поперечное сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, является квадратом. Сторона квадрата равна расстоянию между графиками функций y = x² и y = x. Найдите объём тела.

Сторона квадратного сечения равна расстоянию между графиками:

\(a(x)=x-x^2\), так как на отрезке \([0;2]\) расстояние между графиками берём как модуль разности. Для участка \([1;2]\) график \(y=x^2\) расположен выше графика \(y=x\), поэтому точная запись: \(a(x)=|x-x^2|\).

Площадь сечения:

\(S(x)=a^2(x)=(x-x^2)^2\).

Тогда объём:

\(V=\int_0^2(x-x^2)^2\,dx=\int_0^2(x^2-2x^3+x^4)\,dx\).

\(V=\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^5}{5}\right)\right|_0^2\).

\(V=\frac{8}{3}-8+\frac{32}{5}=\frac{16}{15}\).

Ответ: \(V=\frac{16}{15}\) куб. ед.