7. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 60° и МА = 1.

1. Свойства касательных:

• Касательные МА и МВ проведены из точки М к окружности с центром О.
• Радиусы ОА и ОВ, проведенные в точки касания, перпендикулярны к касательным: $$\\( \triangle OAM \text{ и } \triangle OBM \text{ - прямоугольные)}$$.
• $$MA = MB = 1$$ (отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны).
• $$OA = OB$$ (радиусы окружности).

2. Анализ треугольника OAM:

• В прямоугольном треугольнике $$\triangle OAM$$:
• $$MA = 1$$.
• $$\\( \triangle OAM \cong \triangle OBM \text{ (по гипотенузе и катету)} \text{, значит } \\angle OMA = \\angle OMB \text{ и } \\angle MOA = \\angle MOB \text{)}$$.
• По условию $$\\( andle AOB = 60^{\circ} \text{)}$$.
• Так как $$OA$$ и $$OB$$ делят $$\\( andle AOB \text{ пополам, то } \\angle MOB = \\angle MOA = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ} \text{)}$$.

3. Нахождение радиуса OA:

• В прямоугольном треугольнике $$\triangle OAM$$:
• $$\\( \tan(\\angle MOA) = \frac{MA}{OA} \\)$$
• $$\\( \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{OA} \\)$$
• $$\\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{OA} \\)$$
• $$OA = \sqrt{3}$$.

4. Анализ треугольника AOB:

• Треугольник $$\triangle AOB$$ является равнобедренным, так как $$OA = OB = \sqrt{3}$$.
• Угол при вершине $$O$$ равен $$\\( andle AOB = 60^{\circ} \text{)}$$.
• Так как основание равнобедренного треугольника, а угол при вершине равен 60°, то этот треугольник является равносторонним.
• Следовательно, $$OA = OB = AB = \sqrt{3}$$.

Ответ: $$\sqrt{3}$$