7. На клетчатом поле 8 × 8 располагают 10 мин. После этого на каждой клетке без мины записывают число мин в соседних с ней клетках. Найдите максимальную возможную сумму чисел на доске. Соседними считаем клетки, имеющие общую сторону или вершину, то есть у одной клетки может быть до 8 соседей. На рисунке приведён пример подобной доски размера 5 × 5 с 4 минами.

Сумма чисел на клетках без мин равна количеству пар соседних клеток, в которых одна клетка заминирована, а другая нет.

Чтобы сумма была наибольшей, разместим мины так, чтобы они не соседствовали: тогда каждая мина добавляет к сумме число соседей своей клетки. Например, можно поставить мины в клетках с координатами (строка, столбец): (2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (4,4), (4,6), (4,8), (6,2), (6,4). Соседства между ними нет; сумма числа соседей этих клеток равна \(8+8+8+5+8+8+8+5+8+8=74\).

Для максимума достаточно заметить, что 10 клеток, не соседствующих друг с другом, могут иметь суммарно не более 74 соседей: не более восьми каждая, причём на краю доски число соседей меньше. Если мины соседствуют, пара соседних мин исключает из суммы по меньшей мере два счёта соседства, поэтому результат не увеличивается. Следовательно, максимум достигается при указанном размещении.

Ответ: 74.