7. На концах металлического стержня длиной 1,6 м укреплены два груза, массы которых равны соответственно 2,5 кг и 7,5 кг. В каком месте стержня его надо подпереть, чтобы он находился в равновесии?

Дано:

Длина стержня \( L = 1,6 \) м

Масса первого груза \( m_1 = 2,5 \) кг

Масса второго груза \( m_2 = 7,5 \) кг

Найти:

Расстояние от точки опоры до первого груза \( L_1 \)

Решение:

Для равновесия стержня сумма моментов сил относительно точки опоры должна быть равна нулю. Приравниваем моменты сил от грузов:

\[ m_1 g L_1 = m_2 g L_2 \]

где \( L_1 \) — расстояние от точки опоры до первого груза, \( L_2 \) — расстояние от точки опоры до второго груза.

Мы знаем, что \( L_1 + L_2 = L \), следовательно, \( L_2 = L - L_1 \).

Подставляем это в уравнение моментов:

\[ m_1 g L_1 = m_2 g (L - L_1) \]

Сокращаем \( g \):

\[ m_1 L_1 = m_2 (L - L_1) \]\[ m_1 L_1 = m_2 L - m_2 L_1 \]\[ m_1 L_1 + m_2 L_1 = m_2 L \]\[ L_1 (m_1 + m_2) = m_2 L \]\[ L_1 = \frac{m_2 L}{m_1 + m_2} \]

Подставляем значения:

\[ L_1 = \frac{7,5 \text{ кг} \cdot 1,6 \text{ м}}{2,5 \text{ кг} + 7,5 \text{ кг}} = \frac{12}{10} = 1,2 \text{ м} \]

Точка опоры должна находиться на расстоянии 1,2 м от груза массой 2,5 кг.

Ответ: Стержень надо подпереть на расстоянии 1,2 м от груза массой 2,5 кг.