7. На одной окружности проведены хорды AB и CD. Внутренняя окружность касается хорды AB в точке M, а хорды CD — в точке N. Доказать: AB = CD.

Пусть \(O\) — общий центр окружностей, а радиус внутренней окружности равен \(r\).

1. Так как внутренняя окружность касается хорды \(AB\) в точке \(M\), то \(OM\perp AB\) и \(OM=r\).
2. Аналогично, \(ON\perp CD\) и \(ON=r\).
3. Следовательно, расстояния от центра окружности до хорд равны: \(OM=ON\).
4. В одной окружности хорды, равноудалённые от центра, равны.

Ответ: \(AB=CD\).